|
6. JPEG2000 NORMA |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
WAVELET
TRANSFORMACIJA |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Wavelet transformacija 1976. g.
Crosier, Esteban i Galand razvili su tehniku dekompozicije vremenski
diskretnog signala. Sličan rad su iste
godine napravili Crochiere, Weber i Flanagan i nazvali ga potpojasno
kodiranje. 1983. g. Burt je definirao tehniku veoma sličnu potpojasnom
kodiranju i nazvao ju je piramidalno kodiranje ili multirezolucijska analiza.
To su bili počeci primjene waveleta u tehnici kodiranja odnosno kompresije.
Waveleti su funkcije koje mogu imati bilo kakav oblik, ali su vremenski
ograničene. Multirezolucijsko predstavljanje signala je osnovno načelo
wavelet transformacije, koja za razliku od Fourierove transformacije, signal
prikazuje istodobno u vremenskoj i frekvencijskoj domeni [13]. Signal se
promatra u vremenskim intervalima i za svaki takav interval se proračunava
spektar. Kod waveleta se ne rabi pojam spektra, već je uveden termin skala.
Skala je obrnuto proporcionalna frekvencijskom pojasu. Kad se dođe do kraja
signala vremensko ograničavanje se ponavlja s dužim ili kraćim intervalima.
Kao rezultat se dobije niz vrijeme-skala funkcija sve sa različitim
rezolucijama. Wavelet analiza signala veoma je slična Fourierovoj analizi.
Fourierovom analizom signal se predstavlja pomoću kosinusnih i sinusnih
funkcija dok se kod waveleta prikazuje tzv. wavelet funkcijama. Sve wavelet
funkcije generirane su iz iste funkcije, koja se zove osnovna ili mother wavelet funkcija, postupkom
skaliranja i translacije [14] koji je prikazan na slici 6.5.
Ponavljanje analiziranja funkcije f(t) Translacija Skaliranje
funkcije f(t) Translacija
Translacija Translacija Slika 6.5. Translacija i skaliranje Općenito wavelet transformacija može biti kontinuirana (CWT-Continous
Wavelet Transform) i diskretna (DWT-Discrete Wavelet Transform). Kontinuirana wavelet transformacija definirana je prema izrazu
(6.5).
pri čemu s
označava skalu odnosno
korak proširenja waveleta, a
Wavelet funkcije nisu precizno definirane već imaju proizvoljan
oblik te su prilagodljive ovisno o uporabi, što je prednost u odnosu na sve
ostale transformacije. Svojstva wavelet funkcija
[15]:
pri čemu je
Iz ovog proizlazi da waveleti moraju imati spektar sličan
spektru pojasno propusnog filtera. Ovaj zaključak je bitan za korisnu
adaptaciju wavelet transformacije. Također vrijedi izraz (6.9) iz kojeg se zaključuje
da je prosječna vrijednost waveleta u vremenskoj domeni nula što proizlazi iz
izraza (6.8)
Kako bi wavelet transformaciju bilo moguće primjeniti na diskretan
signal, potrebno je modificirati izraz (6.6). Uvodi se pojam diskretnih
waveleta koji zapravo znače da se skaliranje i translacija provode u
diskretnim koracima.
Iako se
Slika 6.6. Diskretni waveleti u
vrijeme-skala sustavu Da bi diskretni waveleti bili ortonormalni mora vrijediti izraz
(6.11)
Na taj se način neki signal
I s diskretnim waveletima je potrebno beskonačno mnogo operacija
skaliranja i translacije što je neprihvatljivo za realnu primjenu. Naravno, moguće
je prekinuti te operacije, ali tada pada kvaliteta transformacije u smislu
gubitka najvažnijih informacija. Broj translacija je
ograničen trajanjem signala. Pitanje je koliko skala odnosno koliko razina je
potrebno da bi se signal u cijelosti analizirao. Što je više skala to je više
rezolucija moći postići. Ako u vremenskoj domeni komprimiramo wavelete za
faktor 2, to znači proširenje spektra waveleta za faktor 2. Na taj način može
se pokriti cijeli spektar signala sa spektrom waveleta prema slici 6.7.
Slika 6.7. Spektar wavelet funkcija No to nije posve točno. Spektar waveleta je nula prema izrazu
(6.8) što znači da niske frekvencije koje su i najbitnije ne možemo prikazati
spektrom waveleta. Stoga za prikaz spektra nižih frekvencija uvodimo još
jednu wavelet funkciju koja se zove skalirajuća funkcija. Skalirajuću
funkciju
Skalirajuća funkcija zapravo nadomješta beskonačan broj wavelet
funkcija koje se približavaju nuli, ali nikad ne dođu do nule (slika 6.8). Spektar skalirajuće funkcije Spektar waveleta Slika 6.8.
Spektar skalirajuće i wavelet funkcije. Za skalirajuću funkciju
Izraz (6.14) pokazuje da skalirajuća funkcija ima u vremenskoj
domeni prosječnu vrijednost 1, za razliku od wavelet funkcije koja ima
prosječnu vrijednost nula nula. Wavelet funkcije predstavljaju visokopropusni filtar, a
skalirajuća funkcija predstavlja niskopropusni filtar. Više takvih funkcija
tvori tzv. filtarsku banku. Wavelet transformaciju možemo zamisliti kao prolaz signala kroz
niz niskopropusnih i niz visokopropusnih filtara. Ovakav postupak je
indentičan postupku potpojasnog kodiranja (slika 6.9).
Slika 6.9. Potpojasno kodiranje Frekvencijski pojas se dijeli rekurzivno na dva jednaka dijela
pomoću oktavnih digitalnih filtara. Nisko propusni filtar na izlazu daje
grubu aproksimaciju signala, a visokopropusni filtar daje detalje u signalu.
Ovakav princip se koristi u JPEG2000 normi. Zbrojimo li spektar skalirajuće
funkcije i spektar waveleta na skali
Budući da prva skalirajuća funkcija zamjenjuje niz wavelet
funkcija, vrijedi izraz (6.16).
Signal
Ako su skalirajuća funkcija
Može se zaključiti da se koeficijenti na nekoj skali mogu
izračunati na temelju koeficijenata prethodne skale.
Slika
6.10. 2-D DWT transformacija
nad ulaznim diskretnim signalom To je moguće jer svaki frekvencijski potpojas koji nastane na
izlazu iz filtra ima dvostruko manu širinu, pa je po Shannonovom teoremu moguće
smanjiti frekvenciju uzorkovanja za dva. To ima za posljedicu da svaki drugi
uzorak signala Teorijski, posljednji skalirajući potpojas može obuhvaćati samo
jedan uzorak. Tada se postigne i najveća moguća razina dekompozicije signala. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
MENTOR: Prof.dr.sc.Sonja Grgić |
Autor: Mihael Jančić |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
